All are welcome here!

最近看  A. Terras, Harmonic analysis on symmetric spaces and applications 一书, 发现下面有意思的一段话.

Why study harmonic analysis on Γ\H=Γ\SL(2, R)/SO(2), and the analogue for other Lie groups? One justification comes forms the following dialogue which appeared in the 1953 Scientific American (see P. Le Corbeiller):

 

"In the last 60 years, however, a new revolution has taken palce, and everywhere we look we find that what seems to be continuous is really composed of atoms..."

 

"But are not modern mathematicians interested in such things?" asked Empeiros (a physicist). "They are," I answed, "but they give them other names. They call them Number Theory and the Theory of Discontinuous Groups. Actually they have found much more than we can use as yet in physics, but we have in crystals illustrations of some of their simpler theorems..."

 

最近看到一位Pakistan的数学教授在Notice of AMS的文章, 批评在Pakistan以发表文章杂志的impact factor评价一个人的工作. 这位老兄幸好没有生在中国. 在中国不知道哪里的一帮闲的蛋疼的人, 早已把这一标准做到了极致. 不但把数学杂志分了高低贵贱三六九等, 还大刀阔斧很NB地分了4个大区.

 

Qaiser Mushtaq, The Misuse of the Impact Factor

2006年数学SCI期刊及其分区目录

第一点，据我的浅见，近代的宪法最早产生于欧洲，首先是英国，其重要出发点之一是为了限制王权。换句话说，就是为了限制个人的权力太大。有了宪法，则从国家元首到普通公民，都得遵循，且在法律面前一律平等，而不允许把任何一个个人放在宪法之上。如有把个人放在宪法之上，则宪法的执行便必定不完善、不彻底。因此，我认为，现在的“宪草”序言中，写上了个人的名字，包括林彪为接班人，都上了宪法，这是不妥当的，起码给人有个人高于宪法的感觉。接班人之说，是中国的特殊情况，而宪法的意义是带有普遍性的。不能把特殊性的东西往普遍性的东西里边塞。但我声明，我不赞同把个人的名字（包括接班人）写进宪法，并不是反对选择某个人当接班人。中国历来有自己特殊的历史条件和历史现象。接班人之说在一定的历史时期是客观存在，而不在于某个人的好恶，或赞成，或反对。
　　

第二点，这次“宪草”的条文比先前那部宪法少了许多，条文少不见得就一定不好，但有的重要条文少了却不甚妥当，比如设国家主席。一国的元首，不能没有。设国家主席是一回事，选谁当国家主席合适是另一回事。现在的“宪草”没有设国家主席这一条，不知为何？

梁漱溟的这两条意见，现在看来十分平常，但在当时却是出人意外、震惊四座的。因为确定林彪为接班人是一年前中共九大写进党章的，那么如今写进“宪草”序言自然顺理成章。更严重的是，如以写个人名字为准，则“宪草”序言中有关毛泽东主席的评价更大大超出林彪。梁漱溟的发言虽然只点林彪，而不提毛主席，但意在不言之中，谁听了心中都明白的。

 

借用当时的语言，这是多么“露骨而猖狂的恶毒攻击”！梁漱溟先生发言结束，好一会儿大家面面相觑，不知说什么才好。小组会主持人于树德最后说：情况向上反映，大家先作准备，问题听候处理。同时宣布：梁漱溟的反动言论，谁都不许向外扩散，谁扩散谁负责。这一闹腾，梁漱溟深感自己失言。

不料，几天后小组召集人在会上宣布，上级认为，征求意见，在内部提什么都是可以的；有的人因为思想一贯反动，借机放毒也不足为怪，可不必纠缠。于是，梁漱溟平安地过了这一关。那么这“上级”又是谁呢？一定是周总理办公室，就像“文革”之初不扣发工资的事情一样。梁漱溟心里是这样推测的——后来事实证明，他的推测是对的。第二年，林彪摔死在温都尔汗。四届人大当时没有开成，“宪草”自然也流产了。
　

   在“批林批孔”中挺身抗争
１９７３年１０月底，江青之流阴谋策划的“批林批孔”运动开场。当时，已经恢复“学习”权利的在京的全国政协委员和各民主党派、工商联成员不足２００人。梁漱溟先生是引人注目的人物之一。为什么？第一，梁是谁都知道的对孔子和儒家哲学素有研究的学者，用当时的话说，是一位老牌的“一贯尊孔”派；第二，梁这个人与众人不同，历来是有话便直言无讳而不顾其他的。但梁漱溟一直保持沉默。他所在的学习组全体二十余人都“表态”了，都表示“拥护”这个运动，唯有他始终一言不发，持续了一个多月。但沉默也是一种态度，在当时也是不允许的。

 

有人在会上指名道姓地说：“前几天北京大学某教授公开在报上发表文章，由一贯尊孔而转变为支持批孔，影响全国，群众欢迎。据悉，某教授‘五四’时代在北大哲学系还是一名学生，而梁先生那时已经在北大讲坛上讲授印度哲学和儒家哲学了。时至今日，如果梁先生也向某教授学习，公开表态支持批孔，影响将会更大，大家都会欢迎你的转变。”梁漱溟听罢直摇头，不禁脱口而出：“某教授的文章我拜读过了。我与他相熟，前不久还见着他呢。我怀疑文章所说的不是他内心要说的真话。”会上马上有人反击，厉声厉色地说：“你有什么根据怀疑别人？就凭这句话，你对当前的运动持什么态度，已经暴露无遗了。如何端正态度，在你自己。我奉劝梁先生不要再一次作运动的对立面了。”梁漱溟只是笑了一笑，没有再说什么。
　　

又过了若干天，在１９７３年１２月１４日学习会上，梁漱溟在小组召集人的催促下，才拿出一张事先写好的便条，念道：此时此地我没有好多话可说，这里是政协学习会。……毛主席多次说过，允许保留不同意见。我对当前的“批林批孔”运动持保留态度。至于如何评价孔子，我有话要说，我准备专门写篇文章。但我的文章不能公开，怕有碍于当前的运动。我的苦衷是，我很不同意时下流行的批孔意见，而我的亲属、友人都力劝我不要说话，文章不发表，不公开，我无奈答应了他们。眼下我能说的就是这些。梁漱溟的话音刚落，马上就有人说：“有话就摆到桌面上来说嘛。要光明正大，不要搞阴谋诡计，怕什么？”梁漱溟退了一步，说：“我的文章太长，要在会上讲，会占各位许多宝贵时间，还是写完后交给领导参阅更好，不必公开。主持会的人立即答复：“讲与不讲，由你自己定。但时间长没关系，听听你的高见，我们愿意奉陪。”退路没有了，梁漱溟答应作准备。
　　

１９７４年２月２２日，梁漱溟先生登台开讲。他衣冠整洁，神采照人，大皮包装得鼓鼓的。由于梁已是８１岁高龄，主持者再次请他坐下讲，他有礼貌地摆摆手，就像半个多世纪以前在北京大学课堂里正式开课一样，慢条斯理、有声有色地讲了起来。２月２５日，梁漱溟又讲了一个半天。疾呼孔子有功有过,不可全盘否定.梁漱溟先生慷慨激昂讲了两个半天，整理全文洋洋数万言。笔者当时是小组记录。梁漱溟在会上首先开门见山地说：今天我们应当如何评孔子？我们，是指今天的中国人。如何评价孔子？就是指今天回过头去看过去，看孔子在中国文化史上的影响，是好是坏，是大是小。站在今天的高度来评量，就是一分为二。绝对的肯定或绝对的否定，都是不对的，这是毛主席的哲学观点。孔子本人已不会说话，不会申诉，大权操在我们手里，由我们来判断！我们写文章、下判断，就要负责，要多考虑，而不要不负责、考虑太少。因而抬高了他，贬低了他，这与孔子倒无损，与我们则不好，没有尽到责任。

我现在认识到的孔子，有功和过的两个方面。在没有新的认识之前，我没有别的办法，只能表里如一。我的文章，我的观点，确实是对时下流行的批孔意见不同意的。我的看法是，中国有五千年文化，孔子是接受了古代文化，又影响着他之后的中国文化的。这种影响，中国历史上的任何一个古人都不能与孔子相比。
　　

   “三军可夺帅也, 匹夫不可夺志”
自１９７４年２月下旬梁漱溟在小组会上作长篇发言，立刻引起轩然大波之后，他迫切希望能尽快结束这场批判，不几日便主动检查自己。无奈他思想实际并未搞通，又不想说假话应付过关，结果越说毛病越多，批判会反而增加了更多的新内容，特别是对待“批林批孔”运动的态度问题，一直闹到白热化的程度。３月１１日，梁漱溟在会上说：我的长篇发言远离了当前批林批孔政治运动，有碍于当前群众的批孔，错误是严重的。本学习组同仁对我的一切斗争都是理所当然，我不应再申说什么。再说话，便是错上加错，我只有静听的义务了。从３月中旬以后，梁漱溟真的不申说了，但坚持每会必到，洗耳恭听。
　　

到了同年的９月２３日，升级后的联组批判会告一段落，返回小组前，主持人一再征问梁漱溟对大家七八个月来批判他的感想，他始而不答，最后却脱口而出：“三军可夺帅也，匹夫不可夺志！”这句话使在座的人哑然，转而是群情激愤，不可抑制。主持者要梁对自己的答复作出解释，梁铿锵有力地解释道：我认为，孔子本身不是宗教，也不要人信仰他，他只是要人相信自己的理性。我只是相信自己的理性，而不轻易去相信别的什么。别的人可能对我有启发，但也还只是启发我的理性。归根结底，我还是按我的理性而言而动。因为一定要我说话，再三问我，我才说了“三军可夺帅也，匹夫不可夺志”的老话。吐露出来，是受压力的人说的话，不是在得势的人说的话。“匹夫”就是独人一个，无权无势。他的最后一着只是坚信他自己的“志”，什么都可以夺掉他，但就是这个“志”没法夺掉，就是把他这个人消灭掉，也无法夺掉！

 

梁漱溟的这段解释，使在座的同仁更加哑然、木然。会场上只有少数几个人站起来说了几句诸如“顽固派不见棺材不落泪”、“茅坑里的石头又臭又硬”之类的套话，调门很高、很大，却给人苍白无力的感觉。几天后，上边传下话来说，梁某人是不可改悔的反动分子，跟他纠缠会上他的当，“转移了大方向”。从此，就没有人再与梁对阵了。

facebook,youtube,mitbbs等很多境外网站都登陆不上,像wiki也是时好时坏.

 

我有两个问题:

1,屏蔽境外的网站是全国统一的?会不会出现有些境外网站广东能上,而山东不能上;或者网通的网络可以,而铁通的不可以之类的事?

2,国家具体什么部门负责这个?他们在各个省,市都有分支机构吗?联系电话?主页?

 

----我就是想打电话问问骂骂他们,麻辣隔壁的,为毛捏?

 

这是2007年去ICTP参加School and Conference on Analytic Number Theory, organizers写的一个不错的bibliography.

 

This bibliography is non-exhaustive and subjective; it mostly indicates titles of books (with some web addresses and references to surveys available on arXiv) which the participants in the ICTP School and Conference on Analytic Number Theory believe to be particularly useful, especially for beginners and non-experts in analytic number theory. We also include a similar list of references concerninc topics and other fields of mathematics which do not belong to analytic number theory (at least, not entirely) but which seem to us to have great relevance (as tools, as areas of applications, etc).

好久没有更新blog.现在Utah参加一周的workshop,今天结束.过两天详细地写写在workshop上的见闻和收获.

 

今天的日子比较特殊,20年前的今天,我在干什么?当时我应该是一个只知道玩乐的小学生吧!后来,上了初中,所幸认识一位因"六四风波"下放的语文老师.于是对于"大学生","六四","80年代","知识分子","文学青年","理想主义","民主","自由","政治"这些词汇,慢慢地有了一些模糊的记忆.

 

现在的大学生早已褪去了"天之骄子"的光坏,大学校园也早已不是一片净土的"象牙塔".大学越来越像衙门,教授越来越像官僚,教学越来越像党务,科研越来越像交易....激烈的学习保研竞争,充满艰辛的留学诱惑,僧多粥少的就业压力,残酷而又真实的社会,这一切都早已让当代的大学生变得现实功利而又无奈,也早已没有了八十年代大学生的理想主义和政治热情.

 

有时候会问自己:你有理想吗?小时候经常写的作文题目就是:我的理想.当初幼稚而又真实的理想,已变得模糊而不堪回忆!好好认真做数学,珍爱家人和朋友,努力让亲人过的幸福,也许这就是我现在的理想.

 

关于为什么喜欢数学?为什么要做或者堂皇点说要研究数学?答案也只是喜欢!觉得它很漂亮很美很吸引自己,碰巧它也是一个正当的谋生的职业!成为一个优秀的数学家不是,也不应该是我研究数学的目的,这只是一个副产品.

这次继续说吃的,下次要谈点数学了,呵呵!

 

到这以后特别馋面食:特别是馒头饺子.这也到过年了,本着"再穷过年也要吃顿饺子"原则,决定亲自动手包饺子.上网查了查怎么和面,搜到一个写的特详细的,其中还提到和面姿势"站立端正,两脚分开成丁字步,上身稍弯向前,便于用力". 看完哈哈大笑,还好是要求站成丁字步,要是要求穿丁字裤就和不成了!从超市买来面粉,肉馅,到家后室友调馅我和面.大家吃过牛肉芹菜白菜的吗?味道真的不错!

 

大家看我和的面,还不错吧.但是做不到老妈和完面的"三光":面光,手光,盆光啊.穿着围裙也显得很prefessional吧!不过我不大会包,室友包的很有型!

 

最后祝我认识的和认识我的朋友牛年天天海皮.

闲来无聊,说说最近的感受.

 

对我来说,现在美国这地方,生活上最大的问题就是做饭了: nngx,把一个"潜在的"'"优秀的"数学家活生生地逼成了一个蹩脚的厨子!^_^ 不过, 现在煎炸烹炒什么都敢做了,味道只有自己知道了,呵呵. 不过觉得起码比那些中餐馆油腻腻"盖饭"好吃多了,还贵的要死,一般的都至少5刀!对吃一点没有品味的老外还趋之若鹜,可能在他们眼里那就是中国美食了. 哎,博大精深菜系繁多,食不厌精脍不厌细的中国美食就被这帮粗制滥造的南方小老板开的中餐馆给糟蹋了!

 

另一个感觉就是自己来这以后越发显得"宅"了!学校放假了,cambus少了,外面又冰天雪地的,根本不想出去.室友去温暖的Arizona找他老婆去了,偌大的三室一厅就剩朕一人了.除了上周出去一趟采购了足够多的食物,接下来就是冬眠一样的生活了:没有电话,没有手机,6天没有出门,5天没有说一句话(总不能一个人在屋里自言自语吧).今天下午楼上的鬼妹下来,笑嘻嘻地敲门,说老听到有人大声地"咳咳咳...".没有等她说完俺就说了: I never 咳咳咳..., 我身体很好没有感冒之类的巴拉巴拉,呵呵,还说偶尔听到楼上很high地跳舞,她说是她们...这是六天来说的唯一的几句话!明天去系里转转去! 别tmd在这憋傻了! ^_^

 

在这网络也经常有问题,能上msn能上qq,就是不能浏览网页,可能我的dns设置有问题.虽然放假和别人交流少了,但是书还是要看的,论文还是继续写的... ...

 

对自己说新年快乐!!!

 

从上海坐了13个小时昏天黑地的飞机到了Chicago,在号称世界最大的机场熬过无聊的5个小时,又转机飞行了1个小时到了A城,最后朋友开了半个小时车接我到了我的目的地B城---一个漂亮的美国中部小城. 我喜欢的济南有着脏乱差的农村特点,这里买东西象赶集似的要走老远路天碧蓝碧蓝的刺眼一家一户的小院子也有着我老家农村的特点.从一个农村走向另一个农村!

 

接下几天东奔西跑办各种手续,我的Chinglish受到严重挑战,发音不清语法不对听力太差词汇太少..., SO WHAT?  呵呵,连说带比划,就差没有用脚了.我觉得英语听力好的一个重要标志就是能听懂喜欢把名字起的超长的印度三哥们的英语.说的超快又夹着这土不拉几的方言!以前也接触过很多数学家,那次在ICTP就有俄罗斯的德国的法国的日本的印度的数学家,最难懂还是印度的,只能听到几个名词.这边的seminar也有一个!

 

这边关于数论的seminar一周两个,不算太多,好处就是有时间安下心来好好读论文了.在这里我手机不买固话不装也没谁搭理我,有的是时间.好好学习天天向上!

 

 

听ye老师讲的关于Selberg的八卦，轻松一下，呵呵.

 

1997年的A. Selberg已经80高龄了，受邀请和Sarnak等一块来山东大学讲学访问。作报告旅游吃饭到是否让其喝酒等事无巨细，均由潘承彪教授全程安排和陪同！这也是有原因的，据说是当时潘和美国政府有关方面签署了一个协议，大致是要求一定要保证Selberg在华的健康和安全云云。吃饭不让饮酒晚上不要外出九点之前要上床睡觉等等，近似有点"苛刻"作息安排对一个普通的80的老人来说也许是正常的。但是，Selberg不是一个普通的老人而是一个精力旺盛的数学家是一个到了80还要做研究的人。

 

况且老人睡眠的时间本来就少，长夜漫漫无心睡眠，Selberg做了一件我们认为也许只有情窦初开的懵懂少年才做的事：给自己思念的女人写情书！Selberg给n年前在高等研究院做过自己女秘书的Betty Compton写了一封长长的书信，信中诉说了对其魂牵梦绕朝思暮想望穿秋水的思念之情并希望其能回到IAS回到自己身边一起生活。据说（当然又是据说），Betty女士看到远在万里之外访问的中国, Selberg还对自己念念不忘，当时就感动的唏哩哗啦一塌糊涂，就从了！然后在一起生活，照顾Selebrg近10年，直到去世。成就一段佳话！当然当时Selberg原配夫人已去世了。

 

 

Selberg是20世纪的最伟大的数学家之一。对于学数论，特别是解析数论自守形式的人来说，几乎天天都能碰到他的名字。“Throughout a career spanning more than six decades, Professor Selberg made significant contributions to modular forms, Riemann and other zeta functions, analytic number theory, sieve methods, discrete groups, and trace formula. The impact of his work is evident from the many mathematical terms that bear his name: The Selberg Trace Formula, The Selberg Sieve, The Selberg Integral, The Selberg Class, The Rankin-Selberg L-Function, The Selberg Eigenvalue Conjecture, and The Selberg Zeta Function.”

 

下面是两位数学家简述了Selberg的数学贡献，并给予了其很高的评价。当然无论多么高的荣誉，Selberg都配的上！

 

 

 

做一个人，taste很重要，做学问更是如此！下面有两篇有意思的文章，都是大家写的,当然说的问题也不一样。其实，我真没有觉得Szemeredi's theorem有多么漂亮！

 

What is Good for Mathematics?

Anatoly Vershik

 

What is Good Mathematics?
Terence Tao

 

This is a half-year long undergraduate level course in Elementary Number Theory. This test consists of 6 questions on two pages, totalling 100 points. And the final exam will cover all the material we have covered, with an emphasis on the asymptotic behavior for the mean value of the arithmetic functiions and quadratic reciprocity. Please read the instructions on each individual problem carefully, and indicate answers as directed. Would you please try it? Please enjoy!

 

 

 

 

An affirmative answer to this question was given in a referee’s report written by a famous physicist about a paper written by a famous mathematician.

 

The text below closely follows my talk during the round-table discussion at the 95th Conference on Statistical Physics at Rutgers, May 2006, organized by J. Lebowitz. The subject of the discussion was “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in Natural Sciences”, formulated by Eugene Wigner in his Courant Lecture at New York University. Wigner’s lecture was delivered on May 11, 1959, i.e. almost 50 years ago. Other participants in this recent discussion were Ph. Anderson, F. Dyson, and E. Witten. The chairman of the session was M. Fisher. Wigner published a paper with the same title in CPAM, vol. 13, No. 1. It starts with the following story. A young statistician who was working on problems of the growth of population explained to his friend the difficulties which he had encountered and showed him some results of his analysis. The friend noticed π in his formulas and asked what it meant. The statistician replied that π is the area of the circle having radius 1. Then the friend said, “Do you want to convince me that the area of the circle has something in common with the growth of population?”

 

 

            别

 

 

 

 

 

                     顾城

     黑夜给了我黑色的眼睛
     我却用它寻找光明

 

         四月的黄昏

                           舒婷

     四月的黄昏里
     流曳着一组组绿色的旋律
     在峡谷低回
     在天空游移
     要是灵魂里溢满了回响
     又何必苦苦寻觅 
     要歌唱你就歌唱吧，但请
     轻轻，轻轻，温柔地

     四月的黄昏
     好像一段失而复得的记忆
     也许有一个约会
     至今尚未如期；
     也许有一次热恋
     永不能相许
     要哭泣你就哭泣吧，让泪水 
     流啊，流啊，默默地

 

          还 给 我
                           严力
     还给我
     请还给我那扇没有装过锁的门
     哪怕没有房间也请还给我

     请还给我早晨叫醒我的那只雄鸡
     哪怕已经被你吃掉了
     也请把骨头还给我
     请还给我半山坡上的那曲牧歌
     哪怕已经被你录在了磁带上
     也请把笛子还给我

     请还给我
     我与我兄弟姐妹们的关系
     哪怕只有半年也请还给我
     请还给我爱的空间
     哪怕已经被你污染了
     也请把环保的权利还给我
     请还给我整个地球
     哪怕已经被你分割成

         一千个国家
         一亿个村庄
         也请还给我

 

        面朝大海, 春暖花开

                                 海子

     从明天起, 做一个幸福的人
     喂马, 劈柴, 周游世界
     从明天起, 关心粮食和蔬菜
     我有一所房子, 面朝大海, 春暖花开

     从明天起, 和每一个亲人通信
     告诉他们我的幸福
     那幸福的闪电告诉我的
     我将告诉每一个人

     给每一条河每一座山取一个温暖的名字
     陌生人, 我也为你祝福
     愿你有一个灿烂的前程
     愿你有情人终成眷属
     愿你在尘世获的幸福
     我也愿面朝大海, 春暖花开

 

后记：

索性找到我n年前的小本本，把我当时摘抄的很多诗歌中几首拿出来晒一晒。并以此纪念那次风波和n年前的我的青葱岁月，和2008年多灾多难的中国人民！连续六天的发情和装13的诗歌会到此完毕，数学现在才是我的最爱！好好学习天天向上！

 

                   顾城

     在春天，
     我把手帕轻挥，
     是让我远去，
     还是马上返回？

     不，什么也不是，
     什么也不因为，
     就象水中的落花，
     就象花上的露水……

     只有影子懂得，
     只有风能体会，
     只有叹息惊起的彩蝶，
     还在心花中纷飞……

          一 切

                   北岛
     一切都是命运
     一切都是烟云
     一切都是没有结局的开始
     一切都是稍纵即逝的追寻
     一切欢乐都没有微笑
     一切苦难都没有泪痕
     一切语言都是重复
     一切交往都是初逢
     一切爱情都在心里
     一切往事都在梦中
     一切希望都带着注释
     一切信仰都带着呻吟
     一切爆发都有片刻的宁静
     一切死亡都有冗长的回声

 

                   ---献给遇罗克                     

                           北岛

      也许最后的时刻到了
      我没有留下遗嘱
      只留下笔，给我的母亲
      我并不是英雄
      在没有英雄的年代里，
      我只想做一个人

      宁静的地平线
      分开了生者和死者的行列
      我只能选择天空
      决不跪在地上
      以显出刽子手们的高大
      好阻挡自由的风

      从星星的弹孔里
      将流出血红的黎明

             回 答

                       北岛

 

        卑鄙是卑鄙者的通行证，
高尚是高尚者的墓志铭，
看吧，在那镀金的天空中，
飘满了死者弯曲的倒影。


        冰川纪过去了，
为什么到处都是冰凌？
好望角发现了，
为什么死海里千帆相竞？

我来到这个世界上，
只带着纸、绳索和身影，
为了在审判前，
宣读那些被判决的声音。

告诉你吧，世界
我--不--相--信！
纵使你脚下有一千名挑战者，
那就把我算作第一千零一名。

我不相信天是蓝的，
我不相信雷的回声，
我不相信梦是假的，
我不相信死无报应。

如果海洋注定要决堤，
就让所有的苦水都注入我心中，
如果陆地注定要上升，
就让人类重新选择生存的峰顶。
 
        新的转机和闪闪星斗，
        正在缀满没有遮拦的天空。
        那是五千年的象形文字，
        那是未来人们凝视的眼睛。

 

后记：

记得上初中的时候(约16年前吧)，课文里有一个垃圾诗人写的一首垃圾诗《有的人》，在这堂课上语文老师把这首歌功颂德的诗和这个诗人骂的狗血喷头。神情严肃而又坚定地说:我来告诉你们什么是真正的好诗。然后转身在黑板上一气呵成写下了北岛的《回答》，那是我第一次接触到这首诗！老师是一个八十年代的大学生也是一个八十年代的“文学青年”，有着那个年代的大学生特点：对国家充满热情和热血对民主充满向往和追求对现实充满无奈和愤怒...，老师是一个重点大学的文科高材生，由于那次风波被分配到我们那个小乡镇教书。从此后我就喜欢上了朦胧诗我知道了食指北岛顾城舒婷海子我鄙视那些喜欢汪国真的同学我从书上摘抄了一个厚厚的笔记本的诗歌！韶华流逝岁月沧桑，老师现在也是四十左右的人了，当初棱角分明年轻气盛的浪漫主义者不知道被生活打磨成了什么样的人？！现在我只记得他姓王。祝王老师一身平安、幸福。

 

做一个民族主义者，更要做一个民主主义者！

Barry Mazur

In memory of Serge Lang
Introduction

Four decades ago, Mikio Sato and John Tate predicted the shape of probability distributions to which certain “error terms” in number theory conform. Their prediction—known as the Sato-Tate Conjecture—has been verified for an important class of cases thanks to the recent work of Laurent Clozel, Michael Harris, and Richard Taylor [3], and of Michael Harris, Nicholas Shepherd-Barron, and Richard Taylor [18], combined with Richard Taylor’s most recent [54], which establishes this advance in our understanding.

Part of the beauty of this breakthrough is how it pulls together progress made over the past quarter century and work from significantly different viewpoints—from the theory of automorphic representations, from algebraic geometry, and from Galois deformation theory—a demonstration, yet again, of the intense unity of mathematical thought.

My aim is to discuss, in concrete terms, two “sample problems”—one still open, and one settled by the recent work—that give rise to error terms, about which the Sato-Tate Conjecture makes precise predictions.

http://www.ams.org/bull/2008-45-02/S0273-0979-08-01207-X/home.html 

 

下面发几个有点e也有点x的原创笑话，哎，谁叫咱也是一俗人了！特别是最后一个，都让我怀念起我那既bt又温馨的大学宿舍生活：中午在宿舍，大家一边津津有味狼吞虎咽地吃着没什么油水的饭菜，又一边津津乐道争先恐后地讲着最e的笑话。从此，我养成了一副好胃口！但人却越来越瘦！:(

 

1), 大学的时候有个同学A体型脸型都挺帅的，就是满脸长满粉刺青春痘，有点惨不忍睹！记得有次上完数学分析课间休息，大家闲聊：

B：“A，你的脸怎么这么多粉刺啊，也不治治。”

我：“恩，你的脸简直就是处处连续处处不可导。”

周围同学哄声大笑，A大窘。记得以后还有同学偶尔叫他外号“不可导”。罪过罪过啊，不知道这小子的脸现在是不是比较光滑了。

 

2), 一次和一帮文科的mm聊天，就吹起牛来说数学多么多么地有意思多么多么地美妙，忽悠的一位mm心向往之

“听你说的数学这么好，我都想为数学献身了。哎，不过还是觉得数学太难了。”

“嗯，数学是有点难，不过对女孩子来说，为数学家献身可能更容易一些。”

mm从此翻脸不理我。

 

3),  大三，一次朋友聚会吃饭，年轻人嘛当然大都喜欢吃肉了，不过有一个家伙是素食主义者，基本上什么肉都不吃酒也不喝。看到我们一个个大快朵颐大口吃肉大碗喝酒，可能丫心理有点不平衡，振耳发聩地说：

“切，肉有什么好吃的，其实这都是动物的尸体。”

大伙一愣。看着他兴致勃勃的吃的黄瓜蘸酱，我幽幽地说

“其实，你吃的这些蔬菜都是植物的生殖器官。”

大家一帮没心没肺地哈哈大笑，一会各种“尸体”“生殖器官”消灭殆尽。

 

 

Algebraic Number Theory Final Project, Fall 2007

You will choose at least one topic together with some suggested reading to get you started, and write an article no less than five pages giving an overview of the topic. Please tell me your choice as soon as possible. I would like to make sure no two students are working on the same topic. Please type your article by LaTex.

 

For most questions, you should give the detailed proofs of your topic. If time permits, you need to give a talk of your topic about one hour in our graduate seminars of this semester. Your grade in this course will depend mostly on the final project, so please write up your answers individually and carefully.

 

Some problems of this project are rooted deeply in various subjects of contemporary mathematics. I believe that every topic is very interesting and significative. Please enjoy them!

 

If you have any questions please feel free to contact me. I would be very happy to provide further detailed references and make suggestions based on what you are interested in. Good luck!

 

 

\S 1. \textbf{Quadratic Fields}

\S 2. \textbf{Cyclotomic Fields}

\S 3. \textbf{Class Number of Quadratic Fields}

\S 4. \textbf{Hensel's Lemma}

\S 5. \textbf{Inverse Galois Problem}

\S 6. \textbf{The Frobenius Under Composites}

\S 7. \textbf{Some Examples of Hilbert Class Fields}

\S 8. \textbf{Fermat's Last Theorem}

\S 9. \textbf{Numbers Represented by Quadratic Forms}

\S 10. \textbf{Fundamental Properties of Dedekind zeta Functions}

\S 11. \textbf{Prime Ideal Theorem}

\S 12. \textbf{The Brauer-Siegel Theorem}

\S 13. \textbf{Automorphic Forms associated with Quadratic Fields}

\S 15. \textbf{Uniform Distribution}

\S 16. \textbf{Explicit Formulas}

\S 19. \textbf{p-adic L-functions and Iwasawa Theory}

\S 20. \textbf{Computation of Characters}

\S 22. \textbf{Local Functional Equations of Tate's Thesis}

\S 23. \textbf{Infinite Galois Theory and Galois Representations}

\S 24. \textbf{Tchebotarev's Density Theorem}

\S 25. \textbf{The Kroneck-Weber Theorem}

\S 26. \textbf{History of Class Field Theory}

\S 27. \textbf{Weil Groups and Representations of Weil Groups}

\S 28. \textbf{Complex Multiplication and Kronecker's Jugendtraum}

\S 29. \textbf{An Example of Abelian L-functions}

\S 30. \textbf{An Example of Artin L-functions}

\S 31. \textbf{Stark's Conjectures}

\S 32. \textbf{The Cohomology of Groups}

\S 33. \textbf{Smooth Representations of Locally Profinite Groups}

\S 34. \textbf{Riemann-Roch Theorem over Function Fields}

\S 35. \textbf{Riemann Hypothesis for Curves over Finite Fields}

 

下面是我n年前（n>3）山大bbs上发的帖子。过了这几年，自己的一些观点，对数论的认识也发生了一些变化。给别人推荐的这些书中，有些书我还是很认真from cover to cover地看过了，当然有些现在还是没有仔细读完。好的参考书当然是越来越多，我们不可能也没有必要都有所涉猎的。看自己感兴趣的就行了！对于我们想一辈子以做数学为职业的人来说，总要有几本研究生水平之上的书，每一句话每一个公式每一个定理自己都认真仔细地推演过的。这样的书不应该也不会很多的！永远记住：读书只是做学问的初级阶段，读论文做论文才是做学问的开始！

 

 

我是学数论的研究生，以前见有人发贴子，也有同学曾经问过我一些学数论的参考书。今天谨以我个人的喜好，谈谈学习数论的参考书。在此我只提：我以前曾经读过现在正在读着和将来十分想读的数论参考书目。一家之言，仅供参考！在国内有一个不好的倾向是把数论分的太绝对化，要么是学代数数论的要么是学解析数论的。听过美国威斯康星大学杨同海教授的一个报告，说了一句挺有意思的话：在美国都认为我是做解析数论的，而在国内都说我是做代数数论的。其实我个人认为作为一个学数论的研究生，在硕士阶段，即使你是学代数数论的也应该知道Riemann zeta function zero-free，prime number theorem，学解析数论的也应该明白Adele,Idele,这些都是以后进一步学习最基本的东西。如果作为一个硕士毕业的数论研究生这些你都不知道，那只说明一种情况是你老板不是一个合格的导师。我一直认为一个合格的导师是不仅把自己的专业知识传授给学生，更重要的是告诉学生自己的学科在整个数学中的所处的地位和作用，在和自己相关的学科中别的数学家都在做什么工作,什么是主流的数学,什么是核心的数学，最重要的是如何去做论文，而不是逼着学生去读自己的论文。我所说的书目，一类是可以做教材的一类是平时学习的参考书。做教材的书我认为起码要满足三个条件：不要太厚不会让人望而生畏；起点不要太高，即预备知识不要太多不要假设太多的知识；要有当代数学的内容，你不能整个一本书都是讲一百多年前的数学，那是本科生的教材!

1 初等数论 

关于初等数论原来说的太少，其实初等数论的教学更能体现数论的两大研究方向：素数分布和不定方程。如果把初等数论硬性地分成这两类，素数分布应该包含：算术基本定理，素数的无穷,素数的密度为0，素数定理的几个等价命题，Chebyshev定理，Mertens第一第二定理，Bertrand假设，Brun定理--孪生素数的倒数和收敛，这需要一点点筛法，Dirichlet定理--算术级数有无穷多素数，这个优美的定理需要介绍一点Dirichlet character的，其证明只是考虑L-函数在实轴上的性质，确切地说在1点不为零，本质上还是初等方法。素数的定理的初等证明是没有必要讲的，其实我一直觉得这个初等证明没有多大的意义，显得生硬晦涩又不自然！显得重要的唯一原因，也许是Hardy在国际数学家大会上说过的几句赌气的话。我觉得这些东西在初等数论上都可以讲的，但是国内的任何一本初等数论教材都没有提到后面两个漂亮的定理！在解析数论里一个重要也是主要的工作是估计一个有意义的数论函数的前n项和的均值，就像估计简单的Mobius函数：\sum_{n<x}\mu(n)=O(x^{1/2+\epsilon})，这就是1,000,000刀的黎曼猜想！在初等数论的教学和学习里要会利用abel变换等方法进行简单的均值估计。不定方程：整除，带余除法，辗转相除法，一次不定方程，同余，剩余类剩余系，孙子定理，同余方程，二次剩余，高斯互反律，指数原根指标，有时间还可以介绍一点特殊的不定方程Pell方程，Mordell方程，Catalan方程，Fermat方程等。

 

 H. Davenport  multiplicative number theory  springer-verlag GTM74
 A.A. Karatsuba（卡拉楚巴）  解析数论基础 科学出版社 有中译本和英译本

这两本书都是非常适合做教材的。包含了Riemann zeta function，Diriclet L-functions, zero-free ,prime number theory , explicit formula，three primes theorm of Goldbach conjecture , circle method ...  解析数论所有的基础知识。 H.D的书写的非常简练优美可读性很强（除去前六章,我认为！）。另外如果你有足够大的书架足够高的学习热情，你可以买本潘承洞潘承彪的“大词典”：解析数论基础，科学出版社。我觉得这本书是一本非常好的词典。 有了这两本书的基础，如果你想了解 Goldbach Conjecture and Chen's Theorem,你可以看潘兄弟 歌德巴赫猜想 科学出版社有英译本。这可能是他们合写的一本最好的书。如果想学习更详细的 Reimann zeta function 知识，你应该只看E.C.Titchmarsh,  The theory of the Riemann zeta function, second ed. Oxford Univ. Press.这是因为在 Bull of AMS 中 P.Sarnak 给 A.A.Karatsuba and others,The Riemann zeta function 写的 book review 的最后一句很有意思的话是：If I were limited to having just one book on my shelves on Riemann zeta functions,I would opt for the 1986 edition of Titchmarsh"s monograph. 最近一二十年Riemann Hypothesis 和 Random matrix theory的研究有很大的关系，但一般讲Reimann zeta function的专著中很少讲到这一点的，不过可以从网上找到一些这方面的survey文章来看看的。

 

最近又有一本非常新非常好的讲解析数论的书，那就是H.Iwaniec E.Kowalski  analytic number theory  2003 AMS 书比较厚当然内容也非常多，基本上包含了当代解析数论所有的工具,技巧和内容。有了这本书上面所有的书你都可以不用读了。

H.P.F.Swinnerton-Dyer, A brief guide to algebraic number theory  Camb. Univ. Press

这是我见过的最适合做教材的一本书，一学期的课程足够了！作者是大名鼎鼎的 BSD Conjecture 中的 SD。薄薄的一百多页讲述了  Ideals ,Valuations ， Adele , Idele , Special fields , Tate’s thesis , L-series ， Class field theory ect . 我一向不喜欢写的太厚的书更不喜欢写的太初等的书，书中没有这两个缺点而是很多地方充溢着作者对代数数论独到的精辟的见解。关于其他参考书目我建议大家看看冯克勤老师的代数数论的一个附录和结语，我认为这是那本书最值得看的部分 。

我比较喜欢 S.Lang   algebraic number theory   springer-verlag  GTM110. S .Lang是一个以写很多书而著名的数学家，光springer－verlag就好像给他出了三四十本吧！出书多了就有很多人对他写的书不以为然，其实就这本书来说我认为还是非常好的讲了class field theory ,analytic theory , Hecke L-functions , Artin L-functions, … . 另外一部名著我认为是学数论的学生大都知道可能大都没仔细读完过,起码我是只浏览过书中的部分内容，不用猜你知道我说的是 A . Weil   Basic Number Theory. 大数学家都喜欢给自己的书起个不起眼的名字，A . Weil就是这样，其实讲的东西对初学者来说，绝对一点都不basic，用局部紧群上的Harr积分的工具，使用Adele ring and Idele group的语言 ，统一讲述Global Field－number fields and functions fields上的数论。读这本书之前需要懂点拓扑群和群表示的知识的。代数数论的有两条平行的主线：ideal theory and valuation theory。经典理想论的主要内容应该包括：理想唯一分解，类数有限性，Dirichlet单位定理和分歧理论，Hilbert理论，这些理论基本上都是在19世纪中末期建立的。后来20世纪初期，引进了局部化方法，基本上所有的理想论的结果可以用局部化的语言来叙述和证明，定理的证明往往显得更简单优美。对应地有局部域上的算术理论，local ramification theory, local Hilbert theory等。任何一本代数数论的书完全只用一种方法讲述都是不太恰当的！

 

代数数论一个重要的内容就是类域论：粗略地说是研究数域的阿贝尔扩张的算术理论。类域论的基本理论应该说是在20世纪30年代前，由Takagi和Artin基本建立好了。随着不同的方法和工具引入数论，类域论的叙述方法和证明方法也不断更新，这部分理论在五六十年代显得尤其活跃。Takagi用解析的方法给出了类域论的基本定理的证明，过了七年后Artin才给出了Artin map，Artin reciprocity law，具体地给出了理想类群和Galois群之间的对应。后来又引入Idele，cohomolgy，simple algebra 等的语言来叙述和证明类域论的理论。当然我们可以用L函数的语言一句话说明类域论的基本定理：代数数域的阿贝尔扩张的Artin L-函数就是Hecke L-functions! 再后来Weil 引入了所谓的Weil group, Weil-Deligne group, 定义其上的表示所构造的L函数，这种更广泛的函数包含了经典的Artin L-functions和Hecke L-functions. 关于类域论的书也是很多的，当然上面提到也大都讲了类域论。我挺喜欢L. J. Goldstein, Analytic Number Theory这本书的，他讲类域论突出了L-函数的作用！用经典理想论的语言叙述的类域论，可以看G.J. Janusz, algebraic number fields. 另外我觉得大公无私的J.S. Milne写的类域论还是挺不错的！ J. W. S. Cassels and A. Frohlich, eds., Algebraic Number Theory的书虽然经典虽然都是大家之作，显然不太适合初学者的！

 H . Iwaniec  Topics in classical automorphic forms  AMS 
 H . Iwaniec  Spectral methods of automorphic forms  AMS
推荐Iwaniec的书的原因之一，是因为他有着当今解析数论带头大哥的地位。这两本书都是从analytic methods出发，注重强调了和解析数论的联系。第一本讲述GL(2) 上的 holomorphic modular forms 的情况着重讲 了 Kloosterman sum , automorphic L-functions ; 第二本讲述了GL(2) 上的 Maass wave forms 的情况着重讲 Spectral theory 中的Kuznetsov trace formula，Selberg trace formula . 从这两本书里，你能看到当代解析数论的主要研究领域和主要研究方法，这与经典的堆垒素数论additive number theory在内容和方法上都有很大的差别。Kloosterman sum , Trace formula 在当代解析数论研究中起着桥梁的作用也是研究的主要工具和方法。大家知道L-Functions的研究在 Langlands Program 中起着中心的作用，而研究L-functions 往往需要很强的分析方法。最后引用别人的一段话 ：… we remark that over the the past three decade research in the Langlands Program has been pursued along main lines; via L-functions,via dual reductive(theta liftings)and via the trace formula ... one can take the point of view that  automorphic forms are primarily of interest because of concrete analytic information they give us classical problem. In the optic, functoriality is a tool rather than an end in itself,and a wide range of other methods from analytic number theory play an equally important role...。关于Selberg迹公式，当然有后来的Arthur等发展一般的既约代数群上的工作，这与Langlands functoriality有着密切的联系。可以看叶扬波，模形式与迹公式前四章，对此会有一个大概的了解吧！

Automorphic forms ,Automorphic representations , Langlands Program

关于Langlands Program , 最原始的参考书是 H.Jacquet 和R.P.Langlands 写的 Automorphic Forms on GL(2)   LNM 114 （可在Langlands主页上免费下载）. 当然这本书对初学者来说也是比较难读的，需要掌握很多预备知识。S.Gelbert  Automorphic Forms on Adele Groups （Princeton 出版的一套红皮书）应该是一本非常好的参考书尽管出版于1975年。励建书老师曾在一个Summer School给同学们推荐过这本书. 但是我翻过感觉写的有点乱，不像一般的书，将这方面的理论分成local theory和global theory，一目了然！还有一本不错的书是 R.Godement（法国人，Jacquet的博士生导师）写过一个比较薄的讲义 Note's on Jacquet－Langlands' theory 书中主要是把LNM114的重点内容讲了一边，比LNM114好读多了，就像在perface中作者说的那样，书名其实也可以叫做 Jacquet－Langlands' theory made easy ！这本书的缺点就是一般的图书馆都找不到，好像没有出版？ 只是一个内部讲义！

 

可能很多人喜欢看, D.Bump  Automorphic forms and representations 我不是很喜欢这本书，当然这是一本非常好的参考书。书里主要讲了 local and global theory (Jacquet-Langlands' theory) for GL(2) 和 Rankin-Selberg Method ，“… but it less tightly organized and considerably longer ( 574 pages ) …  ” . Rankin-Selberg method 和 Langlands-Shahidi method 当然是研究automophic L functions的重要的解析方法。Rankin－Selberg method 也是 Bump 所擅长所偏爱的部分，书中就写的比较多。内容有点偏 (励建书语,呵呵).我不太喜欢看它是因为它太厚了。

 

另外著名的会议论文集就是 A . Borel  W.Casselman   Automorphic forms, Representations , L-functions  PSPM vol. 33 (AMS上可免费下载)。 这是一个会议论文集，都出自大家之手，当然也是非常全面非常厚的。这本书可能是做这方面的数学家人手一册的必备参考书，让AMS 赚足了钱，后来就索性贴到网页上 online 。一位老师告诉我这是一辈子都有用的书 ^-^. 当然，初学者不可能也没必要从头读到尾，拣你喜欢感兴趣的看就行了。

 

还有两本非常新也是非常好的书 ：J.Bernstein  S.Gelbart   An Introduction to Langlands Program  这也是一个会议论文集，但不太厚，作者都是这方面的专家的，重要的是从最基本的基础讲起，也不需要太多的基础知识就能看的懂的，但是里面很多定理意思意思就完了，很多没有给出详细的证明的，其实真正关于Langlands program的内容应该就算cogdell那三章吧。J.W.Cogell , H.H.Kim , M.R.Murty   Lectures on  automorphic L-functions 书中分了三部分分别讲述了Rankin-Selberg method and converse theorem，Langlands-Shahidi method 和applications of symmertic power L-functions to analytic number theory 三人都是这方面的专家。看看下面的介绍你就知道是一本非常好的书 This book provides a comprehensive account of the crucial role automorphic L-functions play in number theory and in the Langlands program, especially the Langlands functoriality conjecture.There has been a recent major development in the Langlands functoriality conjecture by the use of automorphic L-functions, namely, by combining converse theorems of Cogdell and Piatetski-Shapiro with the Langlands-Shahidi method. This book provides a step-by-step introduction to these developments and explains how the Langlands functoriality conjecture implies solutions to several outstanding conjectures in number theory, such as the Ramanujan conjecture, Sato-Tate conjecture, and Artin's conjecture. It would be ideal for an introductory course in the Langlands program.

 

中文的可以看 黎景辉 二阶矩阵群的表示和自守形式 北京大学出版社。书中的内容偏少些，重要的Automorphic L－functions基本上没讲，但无论如何是一本不错的参考书。还有一本不错的中文书是 李文卿 数论及其应用 北京大学出版社 书中也是统一处理数域和函数域的，前几章讲当代解析数论的基础内容，第七章讲的是classical的模形式，第八章automorphic forms相当把 LNM114 简要的叙述了一边。

arithmetic algebraic geometry 是最近三四十年数论和代数几何相结合发展起来的一门学科.由P.Deligne，G.Faltings，A.Wiles最近二三十年的工作，显的尤其重要，也可能是在国外数论最热的方向。需要较多的预备知识，起码你要知道点 代数数论 （integers ring , discriminant and ramification , ideal class group ）; 交换代数( Dedekind domains ， discrete valuation rings) ; 代数几何( affine and projective curves , scheme theory ，Riemann-Roch theorm) .

我见过的这方面的书比较少，有一本是 D. Lorenzini  An Invitation to Arithmetic Geometry  GSM9 AMS ，这本书的优点是你不知道上面的内容也没关系，从头开始，最后证明了 Riemann Hypothesis for curves over finite fields，用的是 Bombieri 只用Riemann-Roch Theorem 给出的证明方法，可能对于要做这个方向的硕士生来说还是有点太简单吧。

 

另一本书  IAS/PARK CITY vol 9  Arithmetic Algebraic Geometry 是AMS组织的 summer school的讲义，总要讲了 Elliptic Curves，Open Questions in Arithmetic Algebraic Geometry,Galois Representations ，Serre's Conjectures,Modular forms ，这辆本书可能会只使你对这个方向有个大致的了解吧！

GTM201 Diophantine Geometry spring-verlag 也应该是这方面的不错的书，但内容和难度都比上面两本书高一个层次的。偶的感觉！没仔细看过！

 

如果真要从事arithmetic algebraic geometry这个方向的研究，个人认为A.Grothendieck搞的那些抽象的象天书一样东东早晚还是需要好好了解的，但是厚厚的几大本有点bt的EGA，SGA是不是都要仔细读哪（五年未必能看完）可能也是个仁者见仁智者见智的问题！关于代数几何的参考书，应该算是非常多的！Hartshorne的书应该是大家公认的最标准的参考书，自己中英文版本早都买过，但是基本上算是没有看过！张寿武老师在一个场合给大家建议过：可以先看其第一章varieties，然后直接看第四五章Curves，Surfaces，看不懂的地方在回头看schemes，cohomology。这可能是比较快的入门方法，感兴趣的不妨试试！

 

对我们学数论的人来说，还有一个入口就是学习椭圆曲线的理论！关于椭圆曲线的标准参考书应该是Silveman的两本书，第二本写的真是太厚了！一个不需要代数几何背景又注重讲述了椭圆曲线的L函数，还有很多例子的书就是Knapp的书，他虽然是表示论专家，但是写的Elliptic Curves还是很值得一读的！